Algebra Beispiele

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$ nicht definiert ist.

$x = 4$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 2 (x) - 5}{x - 4}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$\frac{3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5}{x - 4}$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5}{x - 4}$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5}{x - 4}$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{x - 4}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 5)}{x - 4}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(x - 1) (3 x + 5)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x + 5) - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.5

Stelle $x$ und $3$ um.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.6

Stelle $x$ und $5$ um.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.7

Entferne die Klammern.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 5}{x - 4}$

Schritt 5.2.15

Subtrahiere $3 x$ von $5 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 12 x$

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $14 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					+	$14 x$	-	$56$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $14 x - 56$

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$
							+	$51$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$3 x + 14 + \frac{51}{x - 4}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 3 x + 14$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 4$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 3 x + 14$

Schritt 7