Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $3$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $3$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(3 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $3$ oder $1$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.8

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.8.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.8.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $1$ Vorzeichenwechsel erfolgt, gibt es höchstens $1$ negative Wurzel (Vorzeichenregel von Descartes).

Negative Wurzeln: $1$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $3$ oder $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $1$ .

Positive Wurzeln: $3$ oder $1$

Negative Wurzeln: $1$