Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 14 x - 12 y = - 69$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 14 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 14$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{14}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$d = 7$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $196$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$e = 0 - 49$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $49$ von $0$ .

$e = - 49$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 7)}^{2} - 49$ ein.

${(x + 7)}^{2} - 49$

Schritt 2

Setze ${(x + 7)}^{2} - 49$ für $x^{2} + 14 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 14 x - 12 y = - 69$ .

${(x + 7)}^{2} - 49 + y^{2} - 12 y = - 69$

Schritt 3

Bringe $- 49$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $49$ auf beiden Seiten.

${(x + 7)}^{2} + y^{2} - 12 y = - 69 + 49$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 12 y$ an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$d = - 6$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 6)}^{2} - 36$ ein.

${(y - 6)}^{2} - 36$

Schritt 5

Setze ${(y - 6)}^{2} - 36$ für $y^{2} - 12 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 14 x - 12 y = - 69$ .

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} - 36 = - 69 + 49$

Schritt 6

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = - 69 + 49 + 36$

Schritt 7

Vereinfache $- 69 + 49 + 36$ .

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Schritt 7.1

Addiere $- 69$ und $49$ .

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = - 20 + 36$

Schritt 7.2

Addiere $- 20$ und $36$ .

${(x + 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16$

Schritt 8

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 9

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 4$

$h = - 7$

$k = 6$

Schritt 10

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- 7, 6)$

Schritt 11

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- 7, 6)$

Radius: $4$

Schritt 12