Algebra Beispiele

$x^{4} + 10 x^{2} + 25 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 10 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u^{2} + 10 u + 5^{2} = 0$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 5$ .

${(u + 5)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $u + 5$ gleich $0$ .

$u + 5 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 5$

Schritt 5

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 5$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{5}$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{5}$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 7