Algebra Beispiele

$f (x) = 3 (x - 1) {(x + 5)}^{2}$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot - 1) {(x + 5)}^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x - 3) {(x + 5)}^{2}$

Schritt 1.1.1.2.2

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$(3 x - 3) ((x + 5) (x + 5))$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 3) (x (x + 5) + 5 (x + 5))$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x \cdot x^{2} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2 + 1} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x^{3} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 (x \cdot x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.5.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $25$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.5.2.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $30 x^{2}$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 75 x - 30 x - 75$

Schritt 1.1.5.2.2

Subtrahiere $30 x$ von $75 x$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 45 x - 75$

Schritt 1.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$3$

Schritt 2

Da der Grad ungerade ist, werden die Enden der Funktion in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Ungerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot - 1) {(x + 5)}^{2}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x - 3) {(x + 5)}^{2}$

Schritt 3.1.1.2.2

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$(3 x - 3) ((x + 5) (x + 5))$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 3) (x (x + 5) + 5 (x + 5))$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Schritt 3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x \cdot x^{2} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.1.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2 + 1} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x^{3} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 (x \cdot x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 3 \cdot 25$

Schritt 3.1.5.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $25$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Schritt 3.1.5.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.2.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $30 x^{2}$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 75 x - 30 x - 75$

Schritt 3.1.5.2.2

Subtrahiere $30 x$ von $75 x$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 45 x - 75$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$3 x^{3}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$3$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient positiv ist, steigt der Graph nach rechts an.

Positive

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Fällt nach links ab und steigt nach rechts an

Schritt 7