Algebra Beispiele

$y = \log_{4} (x) + 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{4} (y) + 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{4} (y) + 1 = x$ um.

$\log_{4} (y) + 1 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{4} (y) = x - 1$

Schritt 2.3

Schreibe $\log_{4} (y) = x - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung als $y = 4^{x - 1}$ um.

$y = 4^{x - 1}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $\log_{4} (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

Schritt 4.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (4^{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

Schritt 4.3.3.2

Die logarithmische Basis $4$ von $4$ ist $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$