Algebra Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} - 10 x - 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 x^{2} - 10 x - 2$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = - 10$

$c = - 2$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 4)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{5}{4}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$e = - 2 - \frac{100}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = - 2 - \frac{100}{- 16}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $- 16$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$e = - 2 - \frac{4 (25)}{- 16}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 2 - \frac{25}{- 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 2 - - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{25}{4}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 2 + 1 (\frac{25}{4})$

Schritt 1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $1$ .

$e = - 2 + \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 + 25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$e = \frac{- 8 + 25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Addiere $- 8$ und $25$ .

$e = \frac{17}{4}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{17}{4}$ ein.

$- 4 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{17}{4}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 4 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{17}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$h = - \frac{5}{4}$

$k = \frac{17}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{4}, \frac{17}{4})$

Schritt 4