Algebra Beispiele

$y = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{3 y - 2}}{2}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$ um.

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3 y - 2} = x \cdot 2$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\sqrt{3 y - 2} = 2 x$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 y - 2}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 y - 2}$ als ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 y - 2)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$3 y - 2 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$3 y - 2 = 2^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 y - 2 = 4 x^{2}$

Schritt 2.4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.3.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 4 x^{2} + 2$

Schritt 2.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 x^{2} + 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 x^{2} + 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2} + 2}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{\sqrt{3 x - 2}}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe ${\sqrt{3 x - 2}}^{2}$ als $3 x - 2$ um.

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Schritt 4.2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x - 2}$ als ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2} + 2}{3}) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2}{3}) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (1)}{3}) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} + 1) - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 - 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 0}}{2}$

Schritt 4.3.3.8

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Schritt 4.3.3.9

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Schritt 4.3.3.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$