Algebra Beispiele

$f (x) = 8 x^{3} - 2 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 8 x^{3} - 2 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $8 x^{3} - 2 x = 0$ um.

$8 x^{3} - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x^{3} - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$2 x (4 x^{2}) - 2 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (- 1) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (4 x^{2}) + 2 x (- 1)$ heraus.

$2 x (4 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$2 x ({(2 x)}^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$2 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 8 {(0)}^{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 8 {(0)}^{3} - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $8 {(0)}^{3} - 2 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 8 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4