Algebra Beispiele

$q (x) = \frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}, x = 0, x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Schritt 2

Da $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ von links und $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Schritt 3

Da $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 4

Da $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$ von links und $\frac{4 x^{3} + 2}{7 x^{3} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$ von rechts, dann ist $x = \frac{\sqrt{21}}{7}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Schritt 5

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}, 0, \frac{\sqrt{21}}{7}$

Schritt 6

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 7

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Schritt 8

Da $n = m$ , ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ mit $a = 4$ und $b = 7$ .

$y = \frac{4}{7}$

Schritt 9

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 10

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{\sqrt{21}}{7}, 0, \frac{\sqrt{21}}{7}$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{4}{7}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 11