Algebra Beispiele

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ als $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ um.

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.2

Addiere $\frac{x}{3}$ und $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Berechne $f (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.7

Multipliziere $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 5.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Schritt 5.2.1.7.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Schritt 5.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 7