Algebra Beispiele

$\frac{1}{x + 1} > \frac{2}{x - 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{x - 1}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{2}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} > 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 1 - 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{- x - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (x + 3)$ als $- 1 (x + 3)$ um.

$\frac{- 1 (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = - 1$

$x = 1$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, - 1, 1$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(- 6) + 1} > \frac{2}{(- 6) - 1}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 0.2$ ist größer als die rechte Seite $- 0.\overline{285714}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(- 2) + 1} > \frac{2}{(- 2) - 1}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(0) + 1} > \frac{2}{(0) - 1}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(4) + 1} > \frac{2}{(4) - 1}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $0.2$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $- 1 < x < 1$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1)$

Schritt 14