Algebra Beispiele

$| 8 - 4 x | \leq 1$

Schritt 1

Schreibe $| 8 - 4 x | \leq 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$8 - 4 x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \geq - 8$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \geq - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x \geq - 8$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$x \leq 2$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $8 - 4 x$ nicht negativ ist.

$8 - 4 x \leq 1$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$8 - 4 x < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x < - 8$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x < - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x < - 8$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$x > 2$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $8 - 4 x$ negativ ist.

$- (8 - 4 x) \leq 1$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 8 - 4 x \leq 1 & x \leq 2 \\ - (8 - 4 x) \leq 1 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (8 - 4 x) \leq 1$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 8 - 4 x \leq 1 & x \leq 2 \\ - 1 \cdot 8 - (- 4 x) \leq 1 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

${\begin{cases} 8 - 4 x \leq 1 & x \leq 2 \\ - 8 - (- 4 x) \leq 1 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 8 - 4 x \leq 1 & x \leq 2 \\ - 8 + 4 x \leq 1 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $8 - 4 x \leq 1$ , wenn $x \leq 2$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $8 - 4 x \leq 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \leq 1 - 8$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$- 4 x \leq - 7$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \leq - 7$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x \leq - 7$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x \geq \frac{7}{4}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \frac{7}{4}$ und $x \leq 2$ .

$\frac{7}{4} \leq x \leq 2$

Schritt 3

Löse $- 8 + 4 x \leq 1$ , wenn $x > 2$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 8 + 4 x \leq 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $8$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \leq 1 + 8$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $1$ und $8$ .

$4 x \leq 9$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \leq 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \leq 9$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{9}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{9}{4}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{9}{4}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \frac{9}{4}$ und $x > 2$ .

$2 < x \leq \frac{9}{4}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$\frac{7}{4} \leq x \leq \frac{9}{4}$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[\frac{7}{4}, \frac{9}{4}]$

Schritt 6