Algebra Beispiele

$\frac{x + 8}{x - 1} \geq - 2$

Schritt 1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x + 8}{x - 1} + 2 \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 8}{x - 1} + 2$ .

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Schritt 2.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 8}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 8 + 2 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 8 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x + 8 + 2 x - 2}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3.3

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x + 8 - 2}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$\frac{3 x + 6}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) + 6}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{x - 1} \geq 0$

Schritt 2.3.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (x + 2)}{x - 1} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 2$

$x = 1$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 2, 1$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 (x + 2)}{x - 1}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{3 (x + 2)}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4) + 8}{(- 4) - 1} \geq - 2$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 0.8$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 8}{(0) - 1} \geq - 2$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 8}{(4) - 1} \geq - 2$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 2$ oder $x > 1$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 2] \cup (1, \infty)$

Schritt 13