Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 x^{3} + 24 x^{2} - 45 x$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 3 x^{3} + 24 x^{2} - 45 x$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 45 x = 0$ um.

$- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 45 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 45 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 45 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (- 8 x) - 45 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 45 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (- 8 x) - 3 x \cdot 15 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 8 x)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 8 x) - 3 x \cdot 15 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2} - 8 x) - 3 x (15)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x (x - 5) (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 x (x - 5) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5, 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (5, 0), (3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 3 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cdot 0^{3} + 24 {(0)}^{2} - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 3 \cdot 0^{3} + 24 \cdot 0^{2} - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 3 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- 3 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} - 45 \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 3 \cdot 0 + 24 {(0)}^{2} - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = 0 + 24 {(0)}^{2} - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 24 \cdot 0 - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $24$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 45 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 45$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (5, 0), (3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4