Algebra Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} - 6 x - 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{2} - 6 x - 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{2} - 6 x - 2 = 0$ um.

$4 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 6 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{2}) - 6 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3 x) - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3 x)$ heraus.

$2 (2 x^{2} - 3 x) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - 3 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $2 x^{2} - 3 x - 1$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 + \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{3 - \sqrt{17}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 - 2$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 2$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $4 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 2$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 6 \cdot 0 - 2$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 2$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 2$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 + \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{3 - \sqrt{17}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 4