Algebra Beispiele

$5 = x + \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x + \sqrt{x + 1} = 5$ um.

$x + \sqrt{x + 1} = 5$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 1} = 5 - x$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = {(5 - x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = {(5 - x)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(5 - x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(5 - x)}^{2}$ als $(5 - x) (5 - x)$ um.

$x + 1 = (5 - x) (5 - x)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(5 - x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 5 (5 - x) - x (5 - x)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x (5 - x)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x + 1 = 25 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - x \cdot 5 - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - x (- x)$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 4.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + 1 x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + x^{2}$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$x + 1 = 25 - 10 x + x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$25 - 10 x + x^{2} = x + 1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 - 10 x + x^{2} - x = 1$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 10 x$ .

$25 + x^{2} - 11 x = 1$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 + x^{2} - 11 x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 8, - 3$

Schritt 5.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 8) (x - 3) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 5.7

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 5.7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 5.8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 3$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $5 = x + \sqrt{x + 1}$ nicht erfüllen.

$x = 3$

Schritt 7