Algebra Beispiele

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 x^{4}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x)$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Schritt 1.4.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Schritt 1.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Schritt 1.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x - 2$ aus $x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $x^{3} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(2 x - 1) (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1) = 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1)$ heraus.

$(x - 2) (x^{3} (x - 2) + 2 x - 1) = 0$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Schritt 1.7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 2) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Schritt 1.7.2

Addiere $3$ und $1$ .

$(x - 2) (x^{4} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

Schritt 1.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$(x - 2) (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere.

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Schritt 1.9.1

Schreibe $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.9.1.1

Faktorisiere $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.9.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 1.9.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 1.9.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.9.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 + 2 + 2 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$3 + 2 \cdot - 1 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 - 2 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.7

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$1 - 1$

Schritt 1.9.1.1.3.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 1.9.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}{x + 1}$

Schritt 1.9.1.1.5

Dividiere $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.9.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 1.9.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 1.9.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.9.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.9.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Schritt 1.9.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.9.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 1.9.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.9.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.9.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.9.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Schritt 1.9.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Schritt 1.9.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Schritt 1.9.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Schritt 1.9.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

Schritt 1.9.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

Schritt 1.9.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

Schritt 1.9.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

Schritt 1.9.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

Schritt 1.9.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

Schritt 1.9.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 1.9.1.1.6

Schreibe $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Schritt 1.9.1.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.9.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 1.9.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 1.9.1.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.9.1.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.7

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 - 1$

Schritt 1.9.1.2.3.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 1.9.1.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Schritt 1.9.1.2.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.9.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Schritt 1.9.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Schritt 1.9.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.9.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.9.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 1.9.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.9.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.9.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.9.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.9.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Schritt 1.9.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 1.9.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 1.9.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 1.9.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 1.9.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Schritt 1.9.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 1.9.1.2.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Schritt 1.9.1.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.9.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Schritt 1.9.1.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.9.1.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Schritt 1.9.1.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Schritt 1.9.1.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 1.9.1.4.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Schritt 1.9.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Schritt 1.9.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Schritt 1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze ${(x - 1)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze ${(x - 1)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 5.2

Löse ${(x - 1)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1, 1$

Schritt 7