Algebra Beispiele

$81 x^{2} + 9 y^{2} = 729$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $729$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{81 x^{2}}{729} + \frac{9 y^{2}}{729} = \frac{729}{729}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 9$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{81 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{81 - 1 \cdot 9}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{81 - 9}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $9$ von $81$ .

$\sqrt{72}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$\sqrt{36 (2)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{6^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$6 \sqrt{2}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 6 \sqrt{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$(0, 6 \sqrt{2})$

Schritt 5.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 5.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (6 \sqrt{2}))$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$(0, - 6 \sqrt{2})$

Schritt 5.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

Schritt 6