Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 x^{2} + 4 x - 2$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = 4$

$c = - 2$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (3)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3$ heraus.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 (3)}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 2 - \frac{4}{3}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 2 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$e = \frac{- 6 - 4}{3}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$e = \frac{- 10}{3}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{10}{3}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{10}{3}$ ein.

$3 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{10}{3}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 3 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{10}{3}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = - \frac{10}{3}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{10}{3})$

Schritt 4