Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 x^{2} - 11 x - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 x^{2} - 11 x - 5$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = - 11$

$c = - 5$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 11}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$d = \frac{- 11}{- 6}$

Schritt 1.1.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{11}{6}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 5 - \frac{{(- 11)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{121}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = - 5 - \frac{121}{- 12}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 5 - - \frac{121}{12}$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{121}{12}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{121}{12})$

Schritt 1.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{121}{12}$ mit $1$ .

$e = - 5 + \frac{121}{12}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{12}{12} + \frac{121}{12}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{12}{12}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 12}{12} + \frac{121}{12}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 5 \cdot 12 + 121}{12}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $12$ .

$e = \frac{- 60 + 121}{12}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Addiere $- 60$ und $121$ .

$e = \frac{61}{12}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(x + \frac{11}{6})}^{2} + \frac{61}{12}$ ein.

$- 3 {(x + \frac{11}{6})}^{2} + \frac{61}{12}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 3 {(x + \frac{11}{6})}^{2} + \frac{61}{12}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = - \frac{11}{6}$

$k = \frac{61}{12}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{11}{6}, \frac{61}{12})$

Schritt 4