Algebra Beispiele

$x + 1 < \frac{5 x - 3}{x - 3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5 x - 3}{x - 3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x (x - 3)}{x - 3} - \frac{5 x - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 3) - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x - (5 x) - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $5 x$ von $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3} < 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 + x - 3}{x - 3} < 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Addiere $- 8 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 - 3}{x - 3} < 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 0}{x - 3} < 0$

Schritt 2.6.3

Addiere $x^{2} - 7 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 7 x}{x - 3} < 0$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 7 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 7 x}{x - 3} < 0$

Schritt 2.6.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 7}{x - 3} < 0$

Schritt 2.6.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 7$ heraus.

$\frac{x (x - 7)}{x - 3} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 7$

$x = 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 7, 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) + 1 < \frac{5 (- 2) - 3}{(- 2) - 3}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $2.6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) + 1 < \frac{5 (2) - 3}{(2) - 3}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(5) + 1 < \frac{5 (5) - 3}{(5) - 3}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $6$ ist kleiner als die rechte Seite $11$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(10) + 1 < \frac{5 (10) - 3}{(10) - 3}$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $11$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $6.\overline{714285}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $3 < x < 7$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 0) \cup (3, 7)$

Schritt 13