Algebra Beispiele

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 8$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 1, 1$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 180$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 60$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $198$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 1$ oder $x \geq 8$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

Schritt 12