Algebra Beispiele

$\frac{x}{4} \leq \frac{9}{x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{x}{4} \cdot 4 \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{4} \cdot 4 \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \leq \frac{9}{x} \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $\frac{9}{x} \cdot 4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $\frac{9}{x}$ und $4$ .

$x \leq \frac{9 \cdot 4}{x}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$x \leq \frac{36}{x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$x \cdot x = \frac{36}{x} x$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} = \frac{36}{x} x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{36}{x} x$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 36$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 6$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 6$

Schritt 3.3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 6$

Schritt 3.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6, - 6$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{4} - \frac{9}{x}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{9}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 8}{4} \leq \frac{9}{- 8}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1.125$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 3}{4} \leq \frac{9}{- 3}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $- 0.75$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{4} \leq \frac{9}{3}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $0.75$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{8}{4} \leq \frac{9}{8}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $1.125$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 6$ oder $0 < x \leq 6$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6] \cup (0, 6]$

Schritt 9