Algebra Beispiele

$\frac{1}{- x} \leq \frac{5}{7 - x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5}{7 - x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x}$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Schritt 2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{5}{7 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (7 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{7 - x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{(7 - x) x} \leq 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(7 - x) x$ um.

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (7 - x) - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{- 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 7 + 1 x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 7 + x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.6.4

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$\frac{- 7 - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{- 1 (7) - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{- 1 (7) - (4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (4 x)$ heraus.

$\frac{- 1 (7 + 4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$7 + 4 x = 0$

$7 - x = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 7$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 7$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{4}$

Schritt 6

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - \frac{7}{4}$

$x = 7$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - \frac{7}{4}, 7$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (7 - x) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$7 - x = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.2.3

Setze $7 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $7 - x$ gleich $0$ .

$7 - x = 0$

Schritt 10.2.3.2

Löse $7 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 10.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 10.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 10.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 10.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (7 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 7$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{7}{4}$

$- \frac{7}{4} < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{7}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{7}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- (- 4)} \leq \frac{5}{7 - (- 4)}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $0.\overline{45}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7}{4} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7}{4} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- (- 1)} \leq \frac{5}{7 - (- 1)}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0.625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- (4)} \leq \frac{5}{7 - (4)}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.25$ ist kleiner als die rechte Seite $1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- (10)} \leq \frac{5}{7 - (10)}$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $- 0.1$ ist größer als die rechte Seite $- 1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{7}{4}$ Wahr

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Falsch

$0 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - \frac{7}{4}$ Wahr

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Falsch

$0 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{7}{4}$ oder $0 < x < 7$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup (0, 7)$

Schritt 15