Algebra Beispiele

$\frac{2 m^{6} + 6 m}{3 m^{14} + 12 m^{9} + 9 m^{4}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 m^{6} + 6 m}{3 m^{14} + 12 m^{9} + 9 m^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 m^{14} + 12 m^{9} + 9 m^{4} = 0$

Schritt 2

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 m^{4}$ aus $3 m^{14} + 12 m^{9} + 9 m^{4}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3 m^{4}$ aus $3 m^{14}$ heraus.

$3 m^{4} (m^{10}) + 12 m^{9} + 9 m^{4} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3 m^{4}$ aus $12 m^{9}$ heraus.

$3 m^{4} (m^{10}) + 3 m^{4} (4 m^{5}) + 9 m^{4} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3 m^{4}$ aus $9 m^{4}$ heraus.

$3 m^{4} (m^{10}) + 3 m^{4} (4 m^{5}) + 3 m^{4} (3) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $3 m^{4}$ aus $3 m^{4} (m^{10}) + 3 m^{4} (4 m^{5})$ heraus.

$3 m^{4} (m^{10} + 4 m^{5}) + 3 m^{4} (3) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $3 m^{4}$ aus $3 m^{4} (m^{10} + 4 m^{5}) + 3 m^{4} (3)$ heraus.

$3 m^{4} (m^{10} + 4 m^{5} + 3) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $m^{10}$ als ${(m^{5})}^{2}$ um.

$3 m^{4} ({(m^{5})}^{2} + 4 m^{5} + 3) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = m^{5}$ . Ersetze $u$ für alle $m^{5}$ .

$3 m^{4} (u^{2} + 4 u + 3) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $u^{2} + 4 u + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 m^{4} ((u + 1) (u + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Ersetze alle $u$ durch $m^{5}$ .

$3 m^{4} ((m^{5} + 1) (m^{5} + 3)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 m^{4} (m^{5} + 1) (m^{5} + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$m^{4} = 0$

$m^{5} + 1 = 0$

$m^{5} + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $m^{4}$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $m^{4}$ gleich $0$ .

$m^{4} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $m^{4} = 0$ nach $m$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$m = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$m = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$m = 0$

Schritt 2.4

Setze $m^{5} + 1$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $m^{5} + 1$ gleich $0$ .

$m^{5} + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $m^{5} + 1 = 0$ nach $m$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m^{5} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \sqrt[5]{- 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$m = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Schritt 2.4.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$m = - 1$

Schritt 2.5

Setze $m^{5} + 3$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $m^{5} + 3$ gleich $0$ .

$m^{5} + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $m^{5} + 3 = 0$ nach $m$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m^{5} = - 3$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \sqrt[5]{- 3}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\sqrt[5]{- 3}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 3$ als ${(- 1)}^{5} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$m = \sqrt[5]{- 1 (3)}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$m = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \cdot 3}$

Schritt 2.5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$m = - 1 \sqrt[5]{3}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $- 1 \sqrt[5]{3}$ als $- \sqrt[5]{3}$ um.

$m = - \sqrt[5]{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 m^{4} (m^{5} + 1) (m^{5} + 3) = 0$ wahr machen.

$m = 0, - 1, - \sqrt[5]{3}$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$m = - \sqrt[5]{3}, m = - 1, m = 0$

Schritt 4