Algebra Beispiele

$x^{4} - 4 x^{3} = 6 x^{2} - 12 x$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} = - 12 x$

Schritt 1.2

Addiere $12 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + 12 x = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $12 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x)$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.2.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.2.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.2.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 8 - 16 - 6 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.2.1.3.5

Subtrahiere $16$ von $- 8$ .

$- 24 - 6 \cdot - 2 + 12$

Schritt 2.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$- 24 + 12 + 12$

Schritt 2.2.1.3.7

Addiere $- 24$ und $12$ .

$- 12 + 12$

Schritt 2.2.1.3.8

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 2.2.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12}{x + 2}$

Schritt 2.2.1.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$12$

Schritt 2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

Schritt 2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x + 12$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Schritt 2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x + 6$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$x ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Setze $x^{2} - 6 x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - 6 x + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 0, - 2, 4.73205080 \dots, 1.26794919 \dots$

Schritt 9