Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$

Schritt 1

Setze $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ gleich $0$ .

$3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{6}$ heraus.

$3 x^{4} (x^{2}) + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $30 x^{5}$ heraus.

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 75 x^{4} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $75 x^{4}$ heraus.

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x)$ heraus.

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25)$ heraus.

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$3 x^{4} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{4}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{4}$ gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{4} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x + 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x + 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $4$ )

$x = - 5$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $4$ )

$x = - 5$ (Vielfachheit von $2$ )

Schritt 3