Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3 x - 15}{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x - 15}{2}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x - 15}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y - 15}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y - 15}{2} = x$ um.

$\frac{3 y - 15}{2} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{3 y - 15}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 y - 15}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y - 15$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{3 (y) - 15}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{3 y + 3 \cdot - 5}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 y + 3 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{3 (y - 5)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y - 5)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (y - 5) = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 3 \cdot - 5 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$3 y - 15 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y - 15 = 2 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2 x + 15$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2 x + 15$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2 x + 15$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{15}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{15}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{15}{3}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $15$ durch $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + 5$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x - 15}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x - 15}{2})}{3} + 5$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 15$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{2 (\frac{3 (x) - 15}{2})}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x + 3 \cdot - 5}{2})}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{2 (\frac{3 (x - 5)}{2})}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3 (x - 5)}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 5))}{2}}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{\frac{6 (x - 5)}{2}}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 (x - 5)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (x - 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 5))}{2}}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 5))}{2 (1)}}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x - 5))}{2 \cdot 1}}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{\frac{3 (x - 5)}{1}}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $3 (x - 5)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{3 (x - 5)}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = \frac{3 (x - 5)}{3} + 5$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 15}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{3} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 5) - 15}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{2 x}{3} + 5) - 15$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 5) + 3 \cdot - 5}{2}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{2 x}{3} + 5) + 3 \cdot - 5$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 5 - 5)}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 0)}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Addiere $\frac{2 x}{3}$ und $0$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{2 x}{3})}{2}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x}{3}$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{\frac{3 (2 x)}{3}}{2}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{\frac{6 x}{3}}{2}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 x}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{\frac{3 (2 x)}{3}}{2}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{\frac{3 (2 x)}{3 (1)}}{2}$

Schritt 5.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{\frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1}}{2}$

Schritt 5.3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{\frac{2 x}{1}}{2}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 x}{3} + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x - 15}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} + 5$