Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 24$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 6 x + 24$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} + 6 x + 24$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 6$

$c = 24$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{6}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 3 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$d = 6$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 24 - \frac{6^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = 24 - \frac{36}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 24 - \frac{36}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 24 - \frac{36}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $36$ durch $2$ .

$e = 24 - 1 \cdot 18$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$e = 24 - 18$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $18$ von $24$ .

$e = 6$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} + 6$ ein.

$\frac{1}{2} {(x + 6)}^{2} + 6$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{2} + 6$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 6$

$k = 6$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, 6)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{11}{2}$

Schritt 6