Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ als Gleichung.

$y = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7 y - 3}{6 y - 7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$ um.

$\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$6 y - 7, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$6 y - 7, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$6 y - 7$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$ mit $6 y - 7$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 y - 3}{6 y - 7} = x$ mit $6 y - 7$ .

$\frac{7 y - 3}{6 y - 7} (6 y - 7) = x (6 y - 7)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 y - 7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y - 3}{6 y - 7} (6 y - 7) = x (6 y - 7)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 y - 3 = x (6 y - 7)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 y - 3 = x (6 y) + x \cdot - 7$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 y - 3 = 6 x y + x \cdot - 7$

Schritt 3.3.3.2.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 y - 3 = 6 x y - 7 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $6 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y - 3 - 6 x y = - 7 x$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 y - 6 x y = - 7 x + 3$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $7 y - 6 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $7 y$ heraus.

$y \cdot 7 - 6 x y = - 7 x + 3$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 6 x y$ heraus.

$y \cdot 7 + y (- 6 x) = - 7 x + 3$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 7 + y (- 6 x)$ heraus.

$y (7 - 6 x) = - 7 x + 3$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (7 - 6 x) = - 7 x + 3$ durch $7 - 6 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (7 - 6 x) = - 7 x + 3$ durch $7 - 6 x$ .

$\frac{y (7 - 6 x)}{7 - 6 x} = \frac{- 7 x}{7 - 6 x} + \frac{3}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 - 6 x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (7 - 6 x)}{7 - 6 x} = \frac{- 7 x}{7 - 6 x} + \frac{3}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7 x}{7 - 6 x} + \frac{3}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 7 x + 3}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x$ heraus.

$y = \frac{- (7 x) + 3}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y = \frac{- (7 x) - 1 (- 3)}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$y = \frac{- (7 x - 3)}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Schreibe $- (7 x - 3)$ als $- 1 (7 x - 3)$ um.

$y = \frac{- 1 (7 x - 3)}{7 - 6 x}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{7 (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) - 3}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $7$ und $\frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3)}{6 x - 7} - 3}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6 x - 7}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3)}{6 x - 7} - 3 \cdot \frac{6 x - 7}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{6 x - 7}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3)}{6 x - 7} + \frac{- 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x - 3) - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe $\frac{7 (7 x - 3) - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{7 (7 x) + 7 \cdot - 3 - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x + 7 \cdot - 3 - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 3 (6 x - 7)}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 3 (6 x) - 3 \cdot - 7}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 18 x - 3 \cdot - 7}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{49 x - 21 - 18 x + 21}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.7

Subtrahiere $18 x$ von $49 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x - 21 + 21}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.8

Addiere $- 21$ und $21$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x + 0}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.3.5.9

Addiere $31 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{7 - 6 \frac{7 x - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{7 + \frac{- 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{7 - \frac{6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.3

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6 x - 7}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{7 (6 x - 7)}{6 x - 7} - \frac{6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{7 (6 x - 7) - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{7 (6 x - 7) - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{7 (6 x) + 7 \cdot - 7 - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x + 7 \cdot - 7 - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 6 (7 x - 3)}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 6 (7 x) - 6 \cdot - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 42 x - 6 \cdot - 3}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{42 x - 49 - 42 x + 18}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.7

Subtrahiere $42 x$ von $42 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{0 - 49 + 18}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.8

Subtrahiere $49$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{- 49 + 18}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.5.9

Addiere $- 49$ und $18$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{\frac{- 31}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - \frac{\frac{31 x}{6 x - 7}}{- \frac{31}{6 x - 7}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{31 x}{6 x - 7} \cdot (- \frac{6 x - 7}{31}))$

Schritt 5.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (- \frac{31 x}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $31$ .

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Schritt 5.2.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{31 x}{6 x - 7}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{- 31 x}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Schritt 5.2.7.2

Faktorisiere $31$ aus $- 31 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{31 (- x)}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Schritt 5.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{31 (- x)}{6 x - 7} \cdot \frac{6 x - 7}{31})$

Schritt 5.2.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{- x}{6 x - 7} \cdot (6 x - 7))$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x - 7$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = - (\frac{- x}{6 x - 7} \cdot (6 x - 7))$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 x - 3}{6 x - 7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{7 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $7 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x})$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- 7 \frac{7 x - 3}{7 - 6 x} - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 3}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 3 \cdot \frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{7 (7 x - 3)}{7 - 6 x} + \frac{- 3 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 7 (7 x - 3) - 3 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $\frac{- 7 (7 x - 3) - 3 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 (7 x - 3) - 3 (7 - 6 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.3.6.1.1

Stelle $7$ und $- 6 x$ um.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 7 (7 x - 3) - 3 (- 6 x + 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 (7 x - 3)$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x - 3)) - 3 (- 6 x + 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (- 6 x + 7)$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x - 3)) - (3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 (7 x - 3)) - (3 (- 6 x + 7))$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x - 3) + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (7 (7 x) + 7 \cdot - 3 + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x + 7 \cdot - 3 + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 + 3 (- 6 x + 7))}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 - 18 x + 3 \cdot 7)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.7

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (49 x - 21 - 18 x + 21)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.8

Subtrahiere $18 x$ von $49 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (31 x - 21 + 21)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.9

Addiere $- 21$ und $21$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- (31 x + 0)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.10

Addiere $31 x$ und $0$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 1 \cdot (31 x)}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.6.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $31$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{- 31 x}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) - 7}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $6 (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x})$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- 6 \frac{7 x - 3}{7 - 6 x} - 7}$

Schritt 5.3.4.1.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 7}$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 7}$

Schritt 5.3.4.3

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} - 7 \cdot \frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7 - 6 x}{7 - 6 x}$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{6 (7 x - 3)}{7 - 6 x} + \frac{- 7 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}$

Schritt 5.3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)}{7 - 6 x}}$

Schritt 5.3.4.6

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7

Schreibe $\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)}{- 6 x + 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 (7 x - 3) - 7 (7 - 6 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.7.1.1

Stelle $7$ und $- 6 x$ um.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 6 (7 x - 3) - 7 (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 (7 x - 3)$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x - 3)) - 7 (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 (- 6 x + 7)$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x - 3)) - (7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 (7 x - 3)) - (7 (- 6 x + 7))$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x - 3) + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (6 (7 x) + 6 \cdot - 3 + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.3

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x + 6 \cdot - 3 + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 + 7 (- 6 x + 7))}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 + 7 (- 6 x) + 7 \cdot 7)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 - 42 x + 7 \cdot 7)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.7

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (42 x - 18 - 42 x + 49)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.8

Subtrahiere $42 x$ von $42 x$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (0 - 18 + 49)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.9

Subtrahiere $18$ von $0$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- (- 18 + 49)}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.7.10

Addiere $- 18$ und $49$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 1 \cdot 31}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $31$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{- 31}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{- \frac{31 x}{7 - 6 x}}{- \frac{31}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{\frac{31 x}{7 - 6 x}}{\frac{31}{- 6 x + 7}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{31 x}{7 - 6 x} \cdot \frac{- 6 x + 7}{31}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $31$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $31$ aus $31 x$ heraus.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{31 (x)}{7 - 6 x} \cdot \frac{- 6 x + 7}{31}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{31 x}{7 - 6 x} \cdot \frac{- 6 x + 7}{31}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x}{7 - 6 x} \cdot (- 6 x + 7)$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{7 - 6 x}$ mit $- 6 x + 7$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x (- 6 x + 7)}{7 - 6 x}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6 x + 7$ und $7 - 6 x$ .

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Schritt 5.3.9.1

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = \frac{x (- 6 x + 7)}{- 6 x + 7}$

Schritt 5.3.9.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7 x - 3}{6 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x - 3}{7 - 6 x}$