Algebra Beispiele

$f (x) = - (x + 3) (x + 10)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- (x + 3) (x + 10)$ an.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x - 1 \cdot 3) (x + 10)$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(- x - 3) (x + 10)$

Schritt 1.1.1.3

Multipliziere $(- x - 3) (x + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x + 10) - 3 (x + 10)$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot x - x \cdot 10 - 3 (x + 10)$

Schritt 1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot x - x \cdot 10 - 3 x - 3 \cdot 10$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 10 - 3 x - 3 \cdot 10$

Schritt 1.1.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 10 - 3 x - 3 \cdot 10$

Schritt 1.1.1.4.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 10 x - 3 x - 3 \cdot 10$

Schritt 1.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$- x^{2} - 10 x - 3 x - 30$

Schritt 1.1.1.4.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 10 x$ .

$- x^{2} - 13 x - 30$

Schritt 1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 13$

$c = - 30$

Schritt 1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 13}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.4.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{13}{2}$

Schritt 1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 30 - \frac{{(- 13)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.2.1.1

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$e = - 30 - \frac{169}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 30 - \frac{169}{- 4}$

Schritt 1.1.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 30 - - \frac{169}{4}$

Schritt 1.1.5.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{169}{4}$ .

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Schritt 1.1.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 30 + 1 (\frac{169}{4})$

Schritt 1.1.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{169}{4}$ mit $1$ .

$e = - 30 + \frac{169}{4}$

Schritt 1.1.5.2.2

Um $- 30$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 30 \cdot \frac{4}{4} + \frac{169}{4}$

Schritt 1.1.5.2.3

Kombiniere $- 30$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 30 \cdot 4}{4} + \frac{169}{4}$

Schritt 1.1.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 30 \cdot 4 + 169}{4}$

Schritt 1.1.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.2.5.1

Mutltipliziere $- 30$ mit $4$ .

$e = \frac{- 120 + 169}{4}$

Schritt 1.1.5.2.5.2

Addiere $- 120$ und $169$ .

$e = \frac{49}{4}$

Schritt 1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + \frac{13}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ ein.

$- {(x + \frac{13}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + \frac{13}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - \frac{13}{2}$

$k = \frac{49}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{13}{2}, \frac{49}{4})$

Schritt 4