Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 5$

$x = 3, - 3$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 5, 3, - 3$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} - 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 10.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 10.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 10.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 10.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 10.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((- 6) - 5)}^{2}}{{(- 6)}^{2} - 9} \geq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $4.\overline{481}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((0) - 5)}^{2}}{{(0)}^{2} - 9} \geq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 2.\overline{7}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((4) - 5)}^{2}}{{(4)}^{2} - 9} \geq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $0.\overline{142857}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((8) - 5)}^{2}}{{(8)}^{2} - 9} \geq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.1\overline{63}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $3 < x \leq 5$ oder $x \geq 5$

Schritt 14

Vereine die Intervalle.

$x < - 3 or x > 3$

Schritt 15

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 16