Algebra Beispiele

$2 - x \leq \frac{5 x + 6}{x + 3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5 x + 6}{x + 3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3}$ .

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Schritt 2.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x + \frac{2 (x + 3)}{x + 3} - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x + \frac{2 (x + 3) - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + \frac{2 x + 2 \cdot 3 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x) - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 6}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.6

Subtrahiere $5 x$ von $2 x$ .

$- x + \frac{- 3 x + 6 - 6}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$- x + \frac{- 3 x + 0}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.1.8

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$- x + \frac{- 3 x}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.4

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5

Kombiniere $- x$ und $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{- x (x + 3)}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x (x + 3) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- x (x + 3) - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x (x + 3)$ heraus.

$\frac{x (- (x + 3)) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{x (- (x + 3)) + x \cdot - 3}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- (x + 3)) + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x (- (x + 3) - 3)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + 3) - 3$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{x (- (x + 3) - 1 (3))}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + 3) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{x (- (x + 3 + 3))}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{x \cdot - 1 (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- x = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 6$

$x = - 3$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 6, - 3$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x (x + 6)}{x + 3}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x + 6)}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - (- 8) \leq \frac{5 (- 8) + 6}{(- 8) + 3}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $10$ ist größer als die rechte Seite $6.8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - (- 4) \leq \frac{5 (- 4) + 6}{(- 4) + 3}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $6$ ist kleiner als die rechte Seite $14$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - (- 2) \leq \frac{5 (- 2) + 6}{(- 2) + 3}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 - (2) \leq \frac{5 (2) + 6}{(2) + 3}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $3.2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 \leq x < - 3$ oder $x \geq 0$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 6, - 3) \cup [0, \infty)$

Schritt 14