Algebra Beispiele

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x - 5}{x - 3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x - 1}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{x - 5}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 2}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 5}{x - 3}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 2)$ um.

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x - 1) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.5

Multipliziere $(- x + 5) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.6.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.6.2

Addiere $- 2 x$ und $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.8

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.9

Addiere $- 4 x$ und $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.10

Addiere $3$ und $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.7

Schreibe $13$ als $- 1 (- 13)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 13)$ heraus.

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (x - 13)$ als $- 1 (x - 13)$ um.

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 13$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 13, - 2, 3$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 9.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 3$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $2.5$ ist größer als die rechte Seite $1.\overline{285714}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 13$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 13$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0.7$ ist größer als die rechte Seite $0.6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 13$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 13$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 16$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $0.8\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{846153}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 13$ Wahr

$x > 13$ Falsch

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 13$ Wahr

$x > 13$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $3 < x < 13$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Schritt 14