Algebra Beispiele

$\frac{x^{4} + 8 x^{2} + 7}{3 x^{5} - 3 x}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{4} + 8 x^{2} + 7}{3 x^{5} - 3 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x^{5} - 3 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{5} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$3 x (x^{4}) - 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x$ heraus.

$3 x (x^{4}) + 3 x (- 1) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x^{4}) + 3 x (- 1)$ heraus.

$3 x (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$3 x ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$3 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$3 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$3 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$3 x ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.4.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, i, - i, - 1, 1$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 0, x = 1$

Schritt 4