Algebra Beispiele

$x \geq \frac{8}{2 + x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{8}{2 + x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $x - \frac{8}{2 + x}$ .

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Schritt 2.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{x (2 + x)}{2 + x} - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 + x) - 8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 2 + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x^{2} - 8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{2 + x} \geq 0$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$2 + x = 0$

Schritt 4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 2$

$x = - 4$

$x = - 2$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2, - 4, - 2$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 + x = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 6 \geq \frac{8}{2 - 6}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 6$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 3 \geq \frac{8}{2 - 3}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist größer als die rechte Seite $- 8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 \geq \frac{8}{2 + 0}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 \geq \frac{8}{2 + 4}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x < - 2$ oder $x \geq 2$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 4, - 2) \cup [2, \infty)$

Schritt 14