Algebra Beispiele

$f (x) = \ln (3 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (3 x)$ als Gleichung.

$y = \ln (3 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (3 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (3 y) = x$ um.

$\ln (3 y) = x$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (3 y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $3 y = e^{x}$ um.

$3 y = e^{x}$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = e^{x}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = e^{x}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (3 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (3 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{e^{x}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$