Algebra Beispiele

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ als Gleichung.

$y = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(2 y + 1)}^{3} - 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$ um.

${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(2 y + 1)}^{3} = x + 4$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{x + 4}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{({(2 x + 1)}^{3} - 4) + 4} - 1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4}$ als ${({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere ${(2 x + 1)}^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{(2 x + 1) - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1)}^{3} - 4$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} + 0)}^{3} - 4$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $\sqrt[3]{x + 4}$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {\sqrt[3]{x + 4}}^{3} - 4$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ als $x + 4$ um.

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Schritt 5.3.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 4}$ als ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 4$

Schritt 5.3.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 4$

Schritt 5.3.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Schritt 5.3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Schritt 5.3.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = (x + 4) - 4$

Schritt 5.3.3.3.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$