Algebra Beispiele

$f (x) = 5 x {(2 x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$5 x ((2 x - 5) (2 x - 5))$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5))$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5))$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$5 x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$5 x (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$5 x (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$5 x (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25)$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$5 x (4 x^{2} - 20 x + 25)$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (4 x^{2}) + 5 x (- 20 x) + 5 x \cdot 25$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 5 x (- 20 x) + 5 x \cdot 25$

Schritt 1.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 5 x \cdot 25$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$5 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 \cdot 4 (x^{2} x) + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 1.1.6.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 1.1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \cdot 4 x^{2 + 1} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 1.1.6.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \cdot 4 x^{3} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 1.1.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x^{3} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 1.1.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.3.1

Bewege $x$ .

$20 x^{3} + 5 \cdot - 20 (x \cdot x) + 125 x$

Schritt 1.1.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$20 x^{3} + 5 \cdot - 20 x^{2} + 125 x$

Schritt 1.1.6.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$20 x^{3} - 100 x^{2} + 125 x$

Schritt 1.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$3$

Schritt 2

Da der Grad ungerade ist, werden die Enden der Funktion in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Ungerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 3.1.1

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$5 x ((2 x - 5) (2 x - 5))$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5))$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5))$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$5 x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$5 x (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$5 x (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$5 x (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25)$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$5 x (4 x^{2} - 20 x + 25)$

Schritt 3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (4 x^{2}) + 5 x (- 20 x) + 5 x \cdot 25$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 5 x (- 20 x) + 5 x \cdot 25$

Schritt 3.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 5 x \cdot 25$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$5 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 3.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 \cdot 4 (x^{2} x) + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 3.1.6.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 3.1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \cdot 4 x^{2 + 1} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 3.1.6.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \cdot 4 x^{3} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x^{3} + 5 \cdot - 20 x \cdot x + 125 x$

Schritt 3.1.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.3.1

Bewege $x$ .

$20 x^{3} + 5 \cdot - 20 (x \cdot x) + 125 x$

Schritt 3.1.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$20 x^{3} + 5 \cdot - 20 x^{2} + 125 x$

Schritt 3.1.6.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$20 x^{3} - 100 x^{2} + 125 x$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$20 x^{3}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$20$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient positiv ist, steigt der Graph nach rechts an.

Positive

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Fällt nach links ab und steigt nach rechts an

Schritt 7