Algebra Beispiele

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

Schritt 1.2

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ .

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Schritt 2.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $7 x$ und $2 x$ .

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 2.4.6.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.6.1.2

Schreibe $9$ um als $- 1$ plus $10$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.4.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Schritt 2.5

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere $(- x - 1) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.2.2

Subtrahiere $x$ von $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.5

Addiere $9 x$ und $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.6

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.7

Addiere $- x^{2} + 14 x$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.8

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 14 x$ heraus.

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Schritt 2.7.8.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.8.2

Faktorisiere $x$ aus $14 x$ heraus.

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.7.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 14$ heraus.

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.9

Schreibe $14$ als $- 1 (- 14)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 14)$ heraus.

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- (x - 14)$ als $- 1 (x - 14)$ um.

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 5

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 14$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 14, 2$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $- 7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 17$ ist kleiner als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 14$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 14$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $19$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 14$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 14$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 16$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $8.\overline{714285}$ ist kleiner als die rechte Seite $11$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 14$ Falsch

$x > 14$ Wahr

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 14$ Falsch

$x > 14$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x < 2$ oder $x \geq 14$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

Schritt 14