Algebra Beispiele

$\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $5 x^{8}$ heraus.

$5 x^{4} (x^{4}) + 20 x^{6} + 20 x^{4} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $20 x^{6}$ heraus.

$5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 20 x^{4} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $20 x^{4}$ heraus.

$5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (4) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2})$ heraus.

$5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $5 x^{4}$ aus $5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)$ heraus.

$5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 2.1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$5 x^{4} (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$5 x^{4} {(u + 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{4}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{4}$ gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{4} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x^{2} + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x^{2} + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x^{2} + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 2.4.2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0$

Schritt 4