Algebra Beispiele

$f (x) = {1.5}^{x} + 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ als Gleichung.

$y = {1.5}^{x} + 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {1.5}^{y} + 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${1.5}^{y} + 4 = x$ um.

${1.5}^{y} + 4 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

${1.5}^{y} = x - 4$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.5}^{y}) = \ln (x - 4)$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln ({1.5}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$ durch $\ln (1.5)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (1.5) = \ln (x - 4)$ durch $\ln (1.5)$ .

$\frac{y \ln (1.5)}{\ln (1.5)} = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.5)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (1.5)}{\ln (1.5)} = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln (({1.5}^{x} + 4) - 4)}{\ln (1.5)}$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${1.5}^{x} + 4 - 4$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln ({1.5}^{x} + 0)}{\ln (1.5)}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere ${1.5}^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{\ln ({1.5}^{x})}{\ln (1.5)}$

Schritt 5.2.4

Zerlege $\ln ({1.5}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{x \ln (1.5)}{\ln (1.5)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.5)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = \frac{x \ln (1.5)}{\ln (1.5)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({1.5}^{x} + 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = {1.5}^{\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}} + 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = {1.5}^{\log_{1.5} (x - 4)} + 4$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x - 4 + 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {1.5}^{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 4)}{\ln (1.5)}$