Algebra Beispiele

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{3} - 6 y^{2} + 9 y = 0$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 6 y^{2}$ heraus.

$y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $9 y$ heraus.

$y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ heraus.

$y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $y$ aus $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ heraus.

$y (y^{2} - 6 y + 9) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y (y^{2} - 6 y + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 3$ .

$y {(y - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

${(y - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(y - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(y - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(y - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(y - 3)}^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y {(y - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$y = 0, 3$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$y = 0, y = 3$

Schritt 4