Algebra Beispiele

$y = \frac{- 4}{x} + 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 4}{y} + 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 4}{y} + 1 = x$ um.

$\frac{- 4}{y} + 1 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{- 4}{y} = x - 1$

Schritt 2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{y} = x - 1$

Schritt 2.4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 2.4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 2.5

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{y} = x - 1$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{y} = x - 1$ mit $y$ .

$- \frac{4}{y} y = x y - y$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{y} y = x y - y$

Schritt 2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4}{y} y = x y - y$

Schritt 2.5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 = x y - y$

Schritt 2.6

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Schreibe die Gleichung als $x y - y = - 4$ um.

$x y - y = - 4$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - y = - 4$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y x + y \cdot - 1 = - 4$

Schritt 2.6.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = - 4$

Schritt 2.6.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = - 4$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = - 4$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 4}{x - 1}$

Schritt 2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{- 4}{x - 1}$

Schritt 2.6.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 4}{x - 1}$

Schritt 2.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4}{x - 1}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 4}{x} + 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{(\frac{- 4}{x} + 1) - 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{\frac{- 4}{x} + 0}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $\frac{- 4}{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{\frac{- 4}{x}}$

Schritt 4.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - \frac{4}{- \frac{4}{x}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - (4 (- \frac{x}{4}))$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - (4 (\frac{- x}{4}))$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = - (4 (\frac{- x}{4}))$

Schritt 4.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{x} + 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{4}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = \frac{- 4}{- \frac{4}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = - 4 (- \frac{x - 1}{4}) + 1$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x - 1}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = - 4 \frac{- (x - 1)}{4} + 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = 4 (- 1) (\frac{- (x - 1)}{4}) + 1$

Schritt 4.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = 4 \cdot (- 1 \frac{- (x - 1)}{4}) + 1$

Schritt 4.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4}{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = 1 (x - 1) + 1$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{4}{x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 4}{x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x - 1}$