Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7^{y - 1} = 3 x$

Schritt 2.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

Schritt 2.5

Zerlege $\ln (7^{y - 1})$ durch Herausziehen von $y - 1$ aus dem Logarithmus.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

Schritt 2.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache $(y - 1) \ln (7)$ .

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Schritt 2.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

Schritt 2.6.1.2

Schreibe $- 1 \ln (7)$ als $- \ln (7)$ um.

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

Schritt 2.7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

Schritt 2.8

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.8.1

Addiere $\ln (7)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

Schritt 2.8.2

Addiere $\ln (3 x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

Schritt 2.9

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 2.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Schritt 2.9.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Schritt 2.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 2.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Schritt 2.9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $7^{x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Schritt 4.2.3.2

Zerlege $\ln (7^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Schritt 4.2.3.3.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Schritt 4.3.4

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

Schritt 4.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$