Algebra Beispiele

$f (x) = (x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17)$

Schritt 1

Setze $(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17)$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

$x^{2} + 8 x + 17 = 0$

Schritt 2.2

Setze $x^{2} + 2 x - 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x^{2} + 2 x - 15$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Schritt 2.2.2

Löse $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.2.2.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.2.2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 8 x + 17$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 8 x + 17$ gleich $0$ .

$x^{2} + 8 x + 17 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 8 x + 17 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 8$ und $c = 17$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

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Schritt 2.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.3

Subtrahiere $68$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 i}{2}$

Schritt 2.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm i$

Schritt 2.3.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 4 + i, - 4 - i$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5, - 4 + i, - 4 - i$

Schritt 3