Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{2 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{2 x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{2 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{2 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{2 y} = x$ um.

$\sqrt[3]{2 y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{2 y}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 y}$ als ${(2 y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(2 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$2 y = x^{3}$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x^{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{3}}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{3}}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{2 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x})}^{3}}{2}$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ als $2 x$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{{({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{{(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{{(2 x)}^{\frac{3}{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{{(2 x)}^{\frac{3}{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{3}}{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{3}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{2}$