Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x}{3} - 17$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y}{3} - 17$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y}{3} - 17 = x$ um.

$\frac{2 y}{3} - 17 = x$

Schritt 3.2

Addiere $17$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{3} = x + 17$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + 17)$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x + 17)$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + 17)$

Schritt 3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x + 17)$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x + 17)$

Schritt 3.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} (x + 17)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (x + 17)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 17$

Schritt 3.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 17$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot 17$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $17$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot 17}{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $17$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 17)}{2} + \frac{51}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 17) + 51}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 17 + 51}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 17 + 51}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x + 3 \cdot - 17 + 51}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 17$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x - 51 + 51}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 51 + 51$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 51$ und $51$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} - 17) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2})}{3} - 17$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x + 51}{2})}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 51$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 (x) + 51}{2})}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $51$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x + 3 \cdot 17}{2})}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 17$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{2 (\frac{3 (x + 17)}{2})}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3 (x + 17)}{2}$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2}}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{6 (x + 17)}{2}}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 (x + 17)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (x + 17)$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2}}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2 (1)}}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{2 (3 (x + 17))}{2 \cdot 1}}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{\frac{3 (x + 17)}{1}}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.4.2

Dividiere $3 (x + 17)$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{3 (x + 17)}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = \frac{3 (x + 17)}{3} - 17$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $x + 17$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = x + 17 - 17$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 17 - 17$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $17$ von $17$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x}{3} - 17$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{51}{2}$