Algebra Beispiele

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

Schritt 1.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $3 x$ und $4 x$ .

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Schritt 2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Addiere $7 x$ und $x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.7.3

Addiere $- x^{2} + 8 x$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.7.4.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.7.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 8$ heraus.

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.9

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.11

Schreibe $- (x - 8)$ als $- 1 (x - 8)$ um.

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Schritt 2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 5

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 8, 4$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $11$ ist größer als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $5.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x < 4$ oder $x \geq 8$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

Schritt 14